Question

已知直线l经过直线l₁：3x+2y-5=0，l₂：2x+3y-5=0的交点M，
（1）若l⊥l₁，求直线l的方程；
（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）解方程组可得两条直线的交点为（1，1），由垂直关系可设与l₁：3x+2y-5=0垂直的直线方程为2x-3y+b=0，代点求b值即可；
（2）直线l过定点（1，1），当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，当直线斜率存在时，设其方程为kx-y+1-k=0，由距离公式和不等式的性质可得．

解答： 解：（1）联立

3x+2y-5=0 2x+3y-5=0

，解得

x=1 y=1

∴两条直线的交点为（1，1），
设与l₁：3x+2y-5=0垂直的直线方程为2x-3y+b=0，
又过点（1，1），代入得b=1，
∴直线方程为2x-3y+1=0；
（2）∵直线l过定点（1，1），
当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，
当直线斜率存在时，设其方程为：y-1=k（x-1）即kx-y+1-k=0；
点（2，1）到直线l的距离d=

|k|

1+k2

=

k2 1+k2

=

1- 1 1+k2

＜1
∴当l：x=1时，点（2，1）到直线l的距离的最大值为1．

点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．