Question

14．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，则椭圆在其上一点A（x₀，y₀）处的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}=1$，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$和椭圆${C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=λ$（λ＞1，λ为常数）．

（1）如图（1），点B为C₁在第一象限中的任意一点，过B作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；
（2）如图（2），过椭圆C₂上任意一点P作C₁的两条切线PM和PN，切点分别为M，N，当点P在椭圆C₂上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设B（x₂，y₂），根据椭圆的性质得出C，D的坐标，利用基本不等式得出面积的最小值；
（2）根据椭圆性质，得出PM，PN的方程，从而得出MN的方程，结合P在C₂上得出O到MN的距离，于是可得定圆方程．

解答 解：（1）设B（x₂，y₂），则椭圆C₁在点B处的切线方程为$\frac{x_2}{2}x+{y_2}y=1$
令$x=0，{y_D}=\frac{1}{y_2}$，令$y=0，{x_C}=\frac{2}{x_2}$，所以${S_{△OCD}}=\frac{1}{{{x_2}{y_2}}}$
又点B在椭圆的第一象限上，所以${x_2}＞0，{y_2}＞0，\frac{x_2^2}{2}+y_2^2=1$
∴$1=\frac{x_2^2}{2}+y_2^2≥2\sqrt{\frac{x_2^2}{2}y_2^2}=\sqrt{2}{x_2}{y_2}$
∴${S_{△OCD}}=\frac{1}{{{x_2}{y_2}}}≥\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，当且仅当$\frac{x_2^2}{2}=y_2^2$$?{x_2}=\sqrt{2}{y_2}=1$
所以当$B（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$时，三角形OCD的面积的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）设P（m，n），则椭圆C₁在点M（x₃，y₃）处的切线为：$\frac{{x}_{3}}{2}$x+y₃y=1，
又PM过点P（m，n），所以$\frac{x_3}{2}m+{y_3}n=1$，同理点N（x₄，y₄）也满足$\frac{x_4}{2}m+{y_4}n=1$．
所以M，N都在直线$\frac{x}{2}m+yn=1$上，即直线MN的方程为$\frac{x}{2}m+yn=1$，
又P（m，n）在C₂上，∴$\frac{m^2}{4}+{n^2}=λ$，
故原点O到直线MN的距离为：$d=\frac{1}{{\sqrt{\frac{m^2}{4}+{n^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{λ}}}$，
所以直线MN始终与圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{λ}$相切．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．