Question

6．下面有四个关于充要条件的命题：
①若x∈A，则x∈B是A⊆B的充要条件；
②函数y=x²+bx+c为偶函数的充要条件是b=0；
③x=1是x²-2x+1=0的充要条件；
④若a∈R，则a＞1是$\frac{1}{a}$＜1的充要条件，
其中真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①根据集合的包含关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
④根据不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：①若x∈A，则x∈B是A⊆B的充要条件；正确
②函数y=f（x）=x²+bx+c为偶函数则f（-x）=f（x），
即x²-bx+c=x²+bx+c，即-b=b则b=0，充分性成立，
若b=0，则f（x）=x²+c为偶函数，必要性成立，则函数y=x²+bx+c为偶函数的充要条件是b=0成立，故②正确；
③由x²-2x+1=0得（x-1）²=0，则x=1，即x=1是x²-2x+1=0的充要条件；故③正确，
④若a∈R，当a＞1时，$\frac{1}{a}$＜1成立，即充分性成立，
当a＜0时，满足$\frac{1}{a}$＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则a＞1是$\frac{1}{a}$＜1成立的充分不必要条件，故④错误，
故答案为：①②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的定义，比较基础．