Question

将一张2×6米的矩形钢板按图示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱．设水箱的高为x米，容积为y立方米．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）x取何值时，水箱容积最大？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,根据实际问题选择函数类型

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出水箱底的宽，长，即可表示出水箱的容积．
（2）通过函数的导数求出极值点，利用单调性，求解最大值即可．

解答： 解：（1）依题意，水箱底的宽为（2-2x）米，长为

6-2x

2

=（3-x）米，
则水箱的容积y=（2-2x）（3-x）•x（0＜x＜1），
（2）y=（2-2x）（3-x）•x=2x³-8x²+6x（0＜x＜1），
∴y′=6x²-16x+6．
令y′=6x²-16x+6=0得x=

4- 7

3

，
当0＜x＜

4- 7

3

时y′＞0，函数单调递增；
当

4- 7

3

＜x＜1时y′＜0，函数单调递减；
∴当x=

4- 7

3

时，函数y=（2-2x）（3-x）•x（0＜x＜1）取最大值．
∴当x=

4- 7

3

时，水箱的容积最大．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，根据实际问题列出函数的解析式是解题的关键，考查计算能力．