Question

4．已知函数f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|在R上存在零点．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m为最小值时，若$\frac{1}{m\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2m\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3m\sqrt{c}}$=1，求证：$\frac{1}{9}$$\sqrt{a}$+$\frac{2}{9}$$\sqrt{b}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{c}$≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据函数与方程之间的关系转化为方程有解问题，构造函数，利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，求出函数的最小值即可得到结论．
（2）求出m的最小值，利用1的代换以及基本不等式进行证明即可．

解答 解：（1）由f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|在R上存在零点．
则等价为f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|=0有解，
即m=|2x+1|+|2x-3|在R上有解．
设g（x）=|2x+1|+|2x-3|，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-2，}&{x＞\frac{3}{2}}\\{4，}&{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2-4x，}&{x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，则函数f（x）的最小值为4，
则m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．
（2）由（1）知，m的最小值为4，则$\frac{1}{m\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2m\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3m\sqrt{c}}$=1等价为$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3\sqrt{c}}$=4，
则$\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3\sqrt{c}$=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3\sqrt{c}$）（$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3\sqrt{c}}$）=$\frac{1}{4}$[3+（$\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$+$\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}$）+（$\frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{c}}$）+（$\frac{3\sqrt{c}}{2\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{b}}{3\sqrt{c}}$）]≥$\frac{1}{4}$（3+2+2+2）=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{9}$$\sqrt{a}$+$\frac{2}{9}$$\sqrt{b}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{c}$≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的应用以及基本不等式的求解，考查学生的转化和运算能力，综合性较强，有一定的难度．