Question

已知双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4，则双曲线的虚轴长为（　　）

• A、

  5

• B、2

  5

• C、

  13

• D、2

  13

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆

x2

27

+

y2

36

=1，故有焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），由此设出双曲线的方程，再由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求出此点的横坐标，将此点的坐标代入方程，求出参数即得双曲线方程，可得双曲线的虚轴长．

解答： 解：因为椭圆

x2

27

+

y2

36

=1的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
故可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为（±

15

，4），
代入双曲线方程可得

16

a2

-

15

b2

=1，
∵a²+b²=9，
∴a=2，b=

5

∴双曲线的虚轴长为2

5

．
故选：B．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是两者共同的特征设出双曲线的标准方程，解题时要善于抓住问题的关键点．