Question

若函数f（x）=ax³+bx+2在（-∞，0）上有最小值-5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（　　）

• A、有最大值5
• B、有最小值5
• C、有最大值3
• D、有最大值9

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）=ax³+bx+2构造g（x）=f（x）-2=ax³+bx，则易得g（x）为奇函数，且在再根据奇函数的性质可得g（x）在（-∞，0）上有最小值-7（a，b为常数），则g（x）在（-∞，0）上有最大值7，函数f（x）在（0，+∞）上有最大值9．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx+2
令g（x）=f（x）-2ax³+bx，则由于定义域为R关于原点对称且g（-x）=-（ax³+bx）=-g（x）
∴g（x）为奇函数
∵g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值7，
∴f（x）在（0，+∞）上有最大值9．
故选：D．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质．解题的关键是要构造出奇函数g（x）=f（x）-2=ax³+bx，然后再根据奇函数的性质得到g（x）在（0，+∞）上有最大值7，从而得到f（x）在（0，+∞）上有最大值9．