Question

8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=5+2t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂：ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0．
（Ⅰ）将曲线C₁化成普通方程，将曲线C₂化成参数方程；
（Ⅱ）判断曲线C₁和曲线C₂的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数t，把曲线C₁的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，把曲线C₂的极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程；
（Ⅱ）由曲线C₁上的点P到圆C₂的圆心O′的距离|PO′|＜r，得出曲线C₁、C₂相交．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=5+2t}\end{array}\right.$，
∴t=x-4，
代入y=5+2t得，
y=5+2（x-4），即y=2x-3．
∴曲线C₁的普通方程是y=2x-3；…（2分）
将ρ=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入曲线C₂的方程
ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0，得
x²+y²-6x-10y+9=0，…（4分）
即（x-3）²+（y-5）²=25；…（5分）
设x-3=5cosα，y-5=5sinα，
得曲线C₂的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=5+5sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C₁是经过点P（4，5）的直线，
曲线C₂是以O′（3，5）为圆心，半径为r=5的圆；…（7分）
∵|PO′|=1＜r，…（8分）
∴点P（4，5）在曲线C₂内，…（9分）
∴曲线C₁和曲线C₂相交．…（10分）

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，是基础题目．