Question

19．已知a，b，c为直角三角形的三边，其中c是斜边，若$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{t}{{c}^{2}}$≥0恒成立，则实数t的取值范围是[-9，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为：t≥-（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{4c}^{2}}{{b}^{2}}$）恒成立，根据基本不等式的性质，求出即可．

解答 解：∵a，b，c为直角三角形的三边，其中c是斜边，
∴a²+b²=c²，
若$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{t}{{c}^{2}}$≥0恒成立，
则t≥-（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{4c}^{2}}{{b}^{2}}$）
=-（1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+4+$\frac{{4a}^{2}}{{b}^{2}}$）
=-（5+2$\sqrt{4}$）
=-9，
当且仅当a=b时“=”成立，
故答案为：[-9，+∞）．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查勾股定理，是一道基础题．