Question

4．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，则z=3x+y的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+y得y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z，则由图象可知当直线y=-3x+z好圆在第一象限相切时直线y=-3x+z的截距最大，
此时z最大，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|z|}{\sqrt{1+（-3）^{2}}}$=2，
即|z|=2$\sqrt{10}$，
故z=2$\sqrt{10}$或z=-2$\sqrt{10}$，（舍），
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．