Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则有下面三个式子：①f（sin

1

2

）＜f（cos

1

2

）；②f（sin

π

3

）＜f（cos

π

3

）；③f（sin1）＜f（cos1）；其中一定成立的是_{_____}．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=f（x+2）知T=2为f（x）的一个周期，设x∈[-1，0]知x+4∈[3，4]，f（x）=f（x+4）=x+4-2=x+2．
画函数的图象，知函数在（0，1）上递减，比较自变量的大小可得答案．

解答： 解：由f（x）=f（x+2）知T=2为f（x）的一个周期，设x∈[-1，0]知x+4∈[3，4]，f（x）=f（x+4）=x+4-2=x+2．
图象如图：

对于①：sin

1

2

＜cos

1

2

⇒f（sin

1

2

）＞f（cos

1

2

）．
对于②：sin

π

3

＞cos

π

3

⇒f（sin

π

3

）＜f（cos

π

3

）．
对于③：sin1＞cos1⇒f（sin1）＜f（cos1）．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查函数的周期性与函数的单调性，属于基础题．