Question

19．已知函数f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性
（Ⅲ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，由导数确定函数的单调性及极值；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a得到范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，
当x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-e，函数f（x）无极大值．
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
则在（-∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，
故a＜0不满足条件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，满足条件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．