Question

20．已知P为圆C：x²+y²=2上一点，过点P作y轴的垂线交y轴于点Q，点M满足$\overrightarrow{QM}$=2$\overrightarrow{QP}$．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N为直线l：x=4上一点，O为坐标原点，且OM⊥ON，求△MON面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出M点的坐标，由题意可得P为线段QM的中点，由中点坐标公式得到P的坐标，把P的坐标代入圆x²+y²=2整理得动点M的轨迹方程；
（2）求出当OM斜率不存在时的△MON面积为$2\sqrt{2}$，再由OM斜率存在不为0时△MON面积大于$2\sqrt{2}$得答案．

解答 解：（1）设M（x，y），由题意Q（0，y），P（x₁，y），
由$\overrightarrow{QM}$=2$\overrightarrow{QP}$，知P为QM的中点，
∴x+0=2x₁，x₁=$\frac{x}{2}$，
又∵P（x₁，y）在圆x²+y²=2上，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=2$，
即$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由题意可知，①当OM斜率不存在时，|OM|=$\sqrt{2}$，|ON|=4，
此时△MON面积等于$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；
②当OM斜率为0时，△MON不存在；
③当OM斜率存在不为0时，设OM所在直线方程为y=kx，则ON所在直线方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{8}{1+4{k}^{2}}}\\{{y}^{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{x=4}\end{array}\right.$，解得N（4，$-\frac{4}{k}$），
∴|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}＞\sqrt{2}$，|ON|=$\sqrt{16+\frac{16}{{k}^{2}}}=4\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}}}$＞4．
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}|OM||ON|＞\frac{1}{2}×\sqrt{2}×4=2\sqrt{2}$．
综合①②③，△MON面积的最小值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．