Question

已知函数f（x）=|

1

x

-1|，若存在正实数a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，则m的取值范围为（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  4

  ，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  4

  ，+∞）

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可看出，应该在R⁺上研究该函数的性质，因为涉及到了函数f（x）的值域，所以应该从函数的单调性入手．

解答： 解：由已知f（x）=

1 x -1，   0＜x＜1 1- 1 x ，    x≥1

，且m＞0，
∴由已知f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
若0＜a＜1＜b，则f（x）_min=f（1）=0，
则m=0，显然不符合题意，
∴0＜a＜b≤1，或1＜a＜b，
当0＜a＜b≤1时，f（x）在（0，1]递减，∴

f(b)=ma f(a)=mb

，
即

1-b=mab 1-a=mab

，∴a=b，与题设矛盾；
当1＜a＜b时，f（x）在[1，+∞）上递增，∴

f(a)=ma f(b)=mb

，
即

a-1=ma2 b-1=mb2

，∴a，b是方程mx²-x+1=0（m＞0）在（1，+∞）上的两个互异实根，
∴

1-4m＞0 m×12-1+1＞0 1 2m ＞0

，
解得0＜m＜

1

4

．
故选A

点评：本题先把函数的绝对值符号去掉，然后从单调性入手，将问题转化为一个在指定区间上方程的根得存在性问题，同时用到了分类讨论思想，具有一定的难度．