Question

已知函数f(x)＝x－mx (m∈R)，g(x)＝ln x.

(1)记h(x)＝f(x)－ g(x)，当m＝1时，求函数h(x)的单调区间；

(2)若对任意有意义的x，不等式f(x)>g(x)成立，求m的取值范围；

(3)求证：当m>1时，方程f(x)＝g(x)有两个不等的实根.

Answer 1

(1)解　当m＝1时，h(x)＝x－x－ln x(x>0)，

h′(x)＝2x－1－＝ (x>0)，

当0<x<1时，h′(x)<0，∴h(x)的单调减区间为(0，1)；

当x>1时，h′(x)>0，∴h(x)的单调增区间为(1，＋∞).

(2)解　f(x)>g(x)等价于x－mx>ln x，其中x>0，

令t(x)＝x－，得t′(x)＝，

当0<x<1时，t′(x)<0，当x>1时，t′(x)>0.

∴m<t(x)min＝t(1)＝1，∴m<1.

(3)证明　设h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－mx－ln x，其中x>0.

∵h′(x)＝2x－m－

等价于2x－mx－ 1＝ 0，此方程有且只有一个正根为x0＝

且当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，

∴h(x)在(0，x0)上单调递减；

当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，

∴h(x)在(x0，＋∞)上单调递增；

∴函数只有一个极值h(x)min＝h(x0)＝－mx0－ln x0.

h(x)min=＝h(x0)＝x0－mx0－ln x0

＝x0(x0－m)－ln x0<0，

当m>1时，方程f(x)＝g(x)有两个不等的实根.