Question

20．已知抛物线y=x²和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$时，直线l过定点（0，2）；当m=$\frac{1}{4}$时，以AB为直径的圆与直线$y=-\frac{1}{4}$相切．

Answer 1

分析 将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；
利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：x²-kx-m=0，
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
y₁y₂=（x₁x₂）²=m²，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=k²+2m，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，则x₁x₂+y₁y₂=m²-m=2，即m²-m-2=0，解得：m=-1或m=2，
由m＞0，则m=2，
直线l：y=kx+2，
∴直线l过点（0，2），
设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与$y=-\frac{1}{4}$相切于P，
由x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{2}$，则P（$\frac{k}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
由题意可知：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即（x₁-$\frac{k}{2}$，y₁+$\frac{1}{4}$）•（x₂-$\frac{k}{2}$，y₂+$\frac{1}{4}$）=0，
整理得：x₁x₂-$\frac{k}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{4}$+y₁y₂+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）+$\frac{1}{16}$=0，
代入整理得：m²-$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{16}$=0，解得：m=$\frac{1}{4}$，
∴当m=$\frac{1}{4}$，以AB为直径的圆与直线$y=-\frac{1}{4}$相切．
故答案为：（0，2），$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．