【题目】如图,在四棱锥 中,底面
为矩形,
是
的中点,
是
的中点,
是
中点.
(1)证明: 平面
;
(2)若平面 底面
,
,试在
上找一点
,使
平面
,并证明此结论.
【答案】
(1)证明:连接 ,交
于点
,连接
.
∵四边形 为矩形,
∴ 为
的中点.
又 为
的中点,∴
.
又 是
的中点,
是
中点,∴
,∴
.
∵ 平面
,
平面
,
∴ 平面
(2)解: 的中点
即为所求的点.
证明如下:
连接 ,
∵ 为
的中点,∴
,
.
又 为
的中点,且四边形
为矩形,
∴ ,
.
∴ ,
.
∴四边形 为平行四边形,∴
.
∵平面 底面
,平面
底面
,
底面
,
,
∴ 平面
,
又 平面
,∴
.∴
.
又∵ ,
是
的中点,∴
,∴
.
又 平面
,
,∴
平面
.
PC 的中点 G 即为所求的点.
【解析】(1)证明线面平行的要点是在平面中找到一条与所证直线平行的直线;
(2)探索直线上一点使线面垂直,可先找到一点,再利用判定定理进行证明.
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【题目】已知数列,
,
为数列
的前
项和,向量
,
,
.
(1)若,求数列
通项公式;
(2)若,
.
①证明:数列为等差数列;
②设数列满足
,问是否存在正整数
,
,且
,
,使得
、
、
成等比数列,若存在,求出
、
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,
,
,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取
次,每次抽取
张,将抽取的卡片上的数字依次记为
,
,
.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,
,
不完全相同”的概率.
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【题目】已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0},B={x|y= },则A∩(RB)=( )
A.[﹣3,﹣1]
B.(﹣3,﹣1]
C.(﹣3,﹣1)
D.[﹣1,2]
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【题目】祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,它是中国古代一个涉及几何体体积问题,意思是两个等高的几何体,如在同高处的截面积恒相等,则体积相等,设A,B为两个等高的几何体,p:A,B的体积相等,q:A,B在同高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,q是-p的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)当a>0时,解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若当a>0时,f(x)<0在x [1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】某中学举行了数学测试,并从中随机抽取了60名学生的成绩(满分100分)作为样本,其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生,得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.
(I)若该所中学共有3000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数;
(II)若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人,试求恰好抽中1名优秀生的概率.
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【题目】已知椭圆 的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)过椭圆 上异于其顶点的任意一点
作圆
的两条切线,切点分别为
(
不在坐标轴上),若直线
在
轴,
轴上的截距分别为
,证明:
为定值.
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