Question

如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．

(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；

(2)求S的最大值及此时θ角的值．

 

Answer 1

（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π

（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝

【解析】【解析】
(1)S△ABD＝×1×1×sinθ＝sinθ，

因为△BDC是正三角形，则S△BDC＝BD2．

由△ABD及余弦定理，可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，

于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，

即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．

(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，

由0<θ<π，得－<θ－<，

故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．