Question

4．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间[-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同实根，则a的取值范围是（　　）

• A． $\root{3}{4}$＜a＜2
• B． 1＜a＜2
• C． $\root{3}{4}$＜a＜$\root{6}{9}$
• D． 1＜a＜$\root{3}{7}$

Answer 1

分析 由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-log_a^x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，
则对于函数y=log_a（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，
即log_a4＜3，且log_a8＞3，由此解得：$\root{3}{4}$＜a＜2，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．