Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

的一段图象过点（0，1），如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）把f（x）的图象向右平移

π

4

个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据周期确定ω，将y=Asin2x的图象向左平移

π

12

，得y=Asin（2x+φ）的图象，可求φ，代入（0，1），可求A，从而可求函数f（x）的表达式；
（2）确定把f（x）的图象向右平移

π

4

个单位长度得到g（x）的图象，再求g（x）的对称轴方程和对称中心．

解答： 解：（1）由图知，T=π，于是ω=

2π

T

=2．…（2分）
将y=Asin2x的图象向左平移

π

12

，得y=Asin（2x+φ）的图象，于是φ=2×

π

12

=

π

6

．
将（0，1）代入y=Asin（2x+

π

6

），得A=2．
故f（x）=2sin（2x+

π

6

）．        …（6分）
（2）依题意，g（x）=2sin[2（x-

π

4

）+

π

6

]=-2cos（2x+

π

6

），…（8分）
求对称轴：令2x+

π

6

=kπ（k∈Z），则x=

kπ

2

-

π

12

（k∈z）
∴g（x）的对称轴为：x=

kπ

2

-

π

12

（k∈z）…（10分）
求对称中心：令2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），则x=

kπ

2

+

π

6

（k∈z）
∴g（x）的对称中心为：(

kπ

2

+

π

6

，0)（k∈z）…（12分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式、图象变换，着重考查正弦函数的对称中心的应用，属于中档题．