Question

12．过椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1外一点P（x₀，y₀）（x₀≠±2且y₀≠0）向椭圆Г作切线，切点分别为A、B，直线AB交y轴于M，记直线PA、PB、PM的斜率分别为k₁、k₂、k₀．
（1）当点P的坐标为（4，3）时，求直线AB的方程；
（2）当x₀≠0时，是否存在常数λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{0}}$恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，m），对椭圆方程两边求导，可得切线的斜率，求得切线方程，再由两点确定一条直线，即可得到所求AB的方程；
（2）假设存在常数λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{0}}$恒成立．设过P的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆方程，运用相切的条件，可得判别式为0，再由韦达定理可得k₁、k₂的关系式，再由AB的方程可得k₀，再由恒成立思想，即可判断存在性．

解答 解：（1）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，m），
由$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，两边对x求导，可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{3}$yy′=0，
即有PA的斜率为k₁=-$\frac{3{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
直线PA的方程为y-y₁=-$\frac{3{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，
即为$\frac{{x}_{1}x}{4}$+$\frac{{y}_{1}y}{3}$=1，
同理可得PB：$\frac{{x}_{2}x}{4}$+$\frac{{y}_{2}y}{3}$=1，
又点P的坐标为（4，3），可得
$\frac{4{x}_{1}}{4}$+$\frac{3{y}_{1}}{3}$=1，$\frac{4{x}_{2}}{4}$+$\frac{3{y}_{2}}{3}$=1，
由两点确定一条直线，可得
直线AB的方程为x+y=1；
（2）假设存在常数λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{0}}$恒成立．
设过P的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），即为y=kx+y₀-kx₀，
代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0，
由直线和椭圆相切的条件，可得
判别式△=64k²（y₀-kx₀）²-16（3+4k²）[（y₀-kx₀）²-3]=0，
即为k²（x₀²-4）-2kx₀y₀+y₀²-3=0，
即有k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
由AB：$\frac{{x}_{0}x}{4}$+$\frac{{y}_{0}y}{3}$=1，可得M（0，$\frac{3}{{y}_{0}}$），
即有k₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{x}_{0}{y}_{0}}$，
由$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{0}}$，可得$\frac{{k}_{1}{+k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{0}}$，
即为$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-3}$=$\frac{λ{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-3}$，
即有λ=2．
则存在常数λ=2，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{0}}$恒成立．

点评 本题考查椭圆方程和运用，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．