Question

【题目】已知函数，，.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数取值范围；

（3）若当时，恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）极小值，没有极大值； （2）； （3）2 .

【解析】

（1）直接进行求导，根据导数与原函数的关系进行极值求解

（2）由于参数的存在，故需对进行分类讨论，时与题意不符，舍去，对进行导数求解，通过增减性进行辨析，当时取到极大值，此时需要判断函数在的左右两侧存在函数值小于零的点，进而得证

（3）令，先求导，再根据恒成立问题求解参数

（1），令，得，

		极小值

所以有极小值，没有极大值；

（2），

①时，，在单调递增，此时至多有一个零点，这与题意不符；

②，令，得，

		极大值

因为函数有两个零点，所以，得，

，，又在上单调，且图象连续不间断，所以在上有一个零点；

，

，所以在单调减，所以，

所以，，，又在上单调，且图象连续不间断，所以在上有一个零点；

综上，实数取值范围为；

（3）记

，令，

所以， ，

①时，，在上单调增，所以，符合题意；

②时，，，又在上单调增，

所以，，使得

		极小值

则当时，，这与恒成立不符，

综上，实数的最大值为2.