Question

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1与圆N：x²+（y-m）²=1相切，A（-$\sqrt{m+1}$，0），B（$\sqrt{m+1}$，0），若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$，则点P到x轴的距离为（　　）

• A． m³
• B． m²
• C． m
• D． $\frac{1}{m}$

Answer 1

分析 联立方程组，转化为一元二次方程，根据曲线相切，利用判别式△=0，得到m的关系，结合双曲线的定义进行求解即可．

解答 解：联立双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1与圆N：x²+（y-m）²=1，消去x得（m+1）y²-2my+m²+m-1=0，
∵双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1与圆N：x²+（y-m）²=1相切，
∴判别式△=4m²-4（m+1）（m²+m-1）=0，
∴（m+1）m²=1，
∴m+1=$\frac{1}{{m}^{2}}$，
易知A，B分别为双曲线的左右焦点，
又|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$，
故由双曲线的定义知P在双曲线M上，且P为右切点，
由韦达定理得2y_P=$\frac{2m}{m+1}=\frac{2m}{\frac{1}{{m}^{2}}}$=2m³，
∴y_P=m³，
即点P到x轴的距离为m³，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，利用曲线相切，转化为一元二次方程，利用判别式△=0求出m的关系是解决本题的关键．