Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2x}{3x+2}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）（理）设b_n=a_na_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，若S_n＜$\frac{m-2016}{2}$对一切正整数n都成立，求最小的正整数m的值．
（2）（文）设b_n=$\frac{1}{a_n}$×2ⁿ，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）求出a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$，两边取倒数，由等比数列的通项公式可得；
（2）（理）求得b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{3n-1}$•$\frac{2}{3n+2}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立思想，可得m的范围，进而得到最小值；
（2）（文）求得b_n=$\frac{1}{a_n}$•2ⁿ=$\frac{3n-1}{2}$•2ⁿ=（3n-1）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$，
取倒数，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
即有a_n=$\frac{2}{3n-1}$；
（2）（理）b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{3n-1}$•$\frac{2}{3n+2}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
前n项和为S_n=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）
=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{4}{3}$，
令$\frac{4}{3}$≤$\frac{m-2016}{2}$，解得m≥2018$\frac{2}{3}$，
可得m的最小值为2019；
（2）（文）b_n=$\frac{1}{a_n}$•2ⁿ=$\frac{3n-1}{2}$•2ⁿ=（3n-1）•2^n-1，
可得S_n=2×2⁰+5×2¹+…+（3n-1）×2^n-1，①
①×2得2S_n=2×2¹+5×2²+…+（3n-1）×2ⁿ，②
①-②得-S_n=2+3（2¹+2²+…+2^n-1）-（3n-1）×2ⁿ
=2+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-1）×2ⁿ，
化简可得S_n=（3n-4）×2ⁿ+4．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用两边取倒数，运用等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．