Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为

3

2

．
（Ⅰ）当a，b，c成等差数列时，求b；
（Ⅱ）求AC边上的中线BD的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由题意可得a+c=2b，ac=6，由余弦定理可得b的方程，解方程可得；
（Ⅱ）易得

BD

=

BA + BC

2

，故|

BD

|=

( BA + BC 2 )2

a2+c2+ 3 ac

2

≥

2ac+ 3 ac

2

，代值计算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，
∵∠B=30°，△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

3

2

，∴ac=6
∴b²=a²+c²-2acsinB=a²+c²-

3

ac
=（a+c）²-（2+

3

）ac
=4b²-（2+

3

）ac=4b²-6（2+

3

），
∴3b²=6（2+

3

），解得b=1+

3

（Ⅱ）∵

BD

=

BA + BC

2

，∴|

BD

|=

( BA + BC 2 )2

=

BA 2+ BC 2+2 BA • BC

2

=

a2+c2+ 3 ac

2

≥

2ac+ 3 ac

2

=

12+6 3

2

=

3+ 3

2

当且仅当a=c=

6

时取等号，
∴AC边上的中线BD的最小值为

3+ 3

2

．

点评：本题考查余弦定理和基本不等式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．