Question

已知命题p：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0，对?x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x²+（a-1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据二次函数的最大值及二次函数的图象求出命题p，q下a的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由命题p知，函数（a-2）x²+2（a-2）x-4的最大值小于0；
a=2时，-4＜0，∴符合题意；
a≠2时，则a需满足：

a＜2 -16(a-2)-4(a-2)2 4(a-2) ＜0

，解得-2＜a＜2；
∴命题p：-2＜a≤2；
根据命题q，设f（x）=x²+（a-1）x+1，所以：

f(0)=1＞0 f(1)=a+1＜0 f(2)=2a+3＞0

，解得-

3

2

＜a＜-1；
∴命题q：-

3

2

＜a＜-1；
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：
p真q假时，

-2＜a≤2 a≤- 3 2 l，或a≥-1

，∴-2＜a≤-

3

2

，或-1≤a≤2；
p假q真时，

a≤-2，或a＞2 - 3 2 ＜a＜-1

，∴a∈∅；
∴实数a的取值范围为(-2，-

3

2

]∪[-1，2]．

点评：考查二次函数的最大值的计算公式，注意讨论二次项的系数是否为0的情况，注意结合二次函数图象，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．