Question

已知m是非零常数，且f（x+m）=

1+f(x)

1-f(x)

，试判断f（x）是否为周期函数，若是，求出它的一个周期T；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据解析式得出f（x+2m）=

1+f(x+m)

1-f(x+m)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

2

-2f(x)

=-

1

f(x)

，f（x+4m）=-

1

f(x+2m)

=f（x），即可判断周期．

解答： 解：∵m是非零常数，且f（x+m）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（x+2m）=

1+f(x+m)

1-f(x+m)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

2

-2f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f（x+4m）=-

1

f(x+2m)

=f（x），
∴f（x）是周期函数，周期为T=4m．

点评：本题考查了运用函数解析式的运用，求解函数周期，判断周期，属于容易题，但是必需认真化简．