Question

3．设数列{a_n}满足a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n，b_n=nlog₃a_4n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）设数列{a_n}、{b_n}的通项；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）通过a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n与当n≥2时a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$=n-1作差可知a_n=3^n-1，验证a₁=1是否成立即可．进而利用对数的性质可得b_n=4n²；
（II）通过（I）裂项可知c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（I）∵a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n，
∴当n≥2时，a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$=n-1，
两式相减，得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n-（n-1）=1，即a_n=3^n-1，
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=3^n-1．
∴b_n=nlog₃a_4n+1=n$lo{g}_{3}{3}^{4n}$=4n²；
（II）由（I）可知c_n=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
所以S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查阶差法、裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．