Question

3．直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=$\sqrt{2}$”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相交的弦长公式进行判断即可．

解答 解：∵直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
当k=1时，|AB|=$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，即充分性成立，
若|AB|=$\sqrt{2}$，则$2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$，
即k²=1，解得k=1或k=-1，即必要性不成立，
故“k=1”是“|AB|=$\sqrt{2}$”的充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及直线和圆相交的弦长的计算，根据弦长公式是解决本题的关键．