Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为 ，且a= ，请判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosB=2c﹣b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC﹣sinB，

又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA= ，

∵0＜A＜π，

∴A=

（2）解：△ABC是等边三角形，理由如下：

∵由（1）可知A= ，

∴sinA= ，

∴S△ABC= bcsinA= ．解得bc=3，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得b2+c2=6

解得：c= ，b= ，

∴△ABC是等边三角形

【解析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA= ，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．（2）利用特殊角的三角函数值可求sinA，利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理解得b2+c2=6，从而解得b=c=a= ，即可得解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．