Question

9．制造容积为$\frac{π}{2}$立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少？

Answer 1

分析 设圆柱形桶的底面半径为r，高为h，利用容积为$\frac{π}{2}$，确定rh=$\frac{1}{2r}$，确定用料成本函数，利用基本不等式，即可得到结论．

解答 解：设圆柱形桶的底面半径为r，高为h，
∵容积为$\frac{π}{2}$，∴πr²h=$\frac{π}{2}$，
∴rh=$\frac{1}{2r}$，
设用料成本为S，
则S=30πr²+40πrh=30πr²+$\frac{20π}{r}$
=10π（3r²+$\frac{1}{r}$+$\frac{1}{r}$）≥10π•3$\root{3}{3{r}^{2}•\frac{1}{r}•\frac{1}{r}}$=30$\root{3}{3}$π（元）
当且仅当3r²=$\frac{1}{r}$，即r=$\frac{\root{3}{9}}{3}$时，等号成立，
此时，h=$\frac{\root{3}{9}}{2}$．
则要使用料成本最低，此圆柱形桶的底面半径为$\frac{\root{3}{9}}{3}$米，高为$\frac{\root{3}{9}}{2}$米．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．