Question

16．若方程xe^-x-a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（1，1+$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 方程xe^-x-a+1=0有两个不相等的实数根可化为e^x=$\frac{x}{a-1}$有两个不相等的实数根，再化为函数y=e^x与y=$\frac{x}{a-1}$的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．

解答 解：∵方程xe^-x-a+1=0有两个不相等的实数根，
∴方程xe^-x=a-1有两个不相等的实数根，
而当a-1=0时，方程xe^-x=a-1只有一个根0，故不成立；
故a-1≠0；
故e^x=$\frac{x}{a-1}$有两个不相等的实数根，
作函数y=e^x与y=$\frac{x}{a-1}$的图象如下，

设切点为A（x，e^x）；
则e^x=$\frac{{e}^{x}}{x}$；
故x=1；
即切线的斜率k=e；
$\frac{1}{a-1}$＞e；
解得，1＜a＜1+$\frac{1}{e}$；
故答案为：（1，1+$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了切线的斜率与导数的几何意义的应用，属于中档题．