Question

4．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：
（1）平面PAB⊥平面PBC；
（2）平面AEF⊥平面PBC；
（3）平面AEF⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC，得BC⊥PA，由∠ABC=90°，得BC⊥AB，从而可证BC⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBC；
（2）由BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，可得BC⊥AE，由AE⊥PB于E，PB∩BC=B，得AE⊥平面PBC，从而可证平面AEF⊥平面PBC；
（3）由AE⊥平面PBC，得AE⊥PC，由AF⊥PC，AF∩AE=A，得PC⊥平面AEF，从而可证平面AEF⊥平面PAC．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB
∵PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC；
（2）∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB
∴BC⊥AE
∵AE⊥PB于E，PB∩BC=B
∴AE⊥平面PBC，
∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC
（3）∵AE⊥平面PBC
∴AE⊥PC
∵AF⊥PC，AF∩AE=A
∴PC⊥平面AEF
∵PC?平面PAC
∴平面AEF⊥平面PAC．

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．