Question

已知函数f（x）=x（1+a|x-a|），a∈R．
（1）若函数f（x）恰有2个零点，求a的值；
（2）若|f（x）|≤1对x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=0则x=0或1+a|x-a|=0，由条件判断a＜0，解出方程，令其中一个为0，求出a即可；
（2）讨论x=0，0＜x≤1时，-1≤x＜0时，在同一坐标系中，画出y=

1

x

，y=-

1

x

，y=1+a|x-a|，的图象，注意观察图象的位置关系，考虑a的变化，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）令f（x）=0则x=0或1+a|x-a|=0，
由函数f（x）恰有2个零点，显然a≠0，则a＜0．
解得x=a+

1

a

或a-

1

a

，可令a-

1

a

=0，求得a=-1．检验成立，
故a=-1；
（2）当x=0时，f（x）=0显然成立；
当0＜x≤1时，|f（x）|≤1等价为-

1

x

≤1+a|x-a|≤

1

x

，
在同一坐标系中，画出y=

1

x

，y=-

1

x

，y=1+a|x-a|，
0＜x≤1．由图象观察得到，-1≤a≤0；
当-1≤x＜0时，|f（x）|≤1等价为

1

x

≤1+a|x-a|≤-

1

x

，
在同一坐标系中，画出y=

1

x

，y=-

1

x

，y=1+a|x-a|，
-1≤x＜0．由图象观察得到当-2＜a＜-1时，y=1+a|x-a|，
与y=

1

x

的图象相切，故m＜a≤0，m∈（-2，-1）时，不等式恒成立．
综上可知，当-1≤a≤0时，|f（x）|≤1对x∈[-1，1]恒成立．

点评：本题考查函数的零点的求法，考查不等式恒成立问题转化为函数图象问题，通过图象观察，是迅速解题的关键，