Question

9．三棱锥S-ABC中，已知△ABC是以角A为直角的等腰三角形，AB=2，SB=SC=$\sqrt{3}$，SO⊥BC，垂足为O．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）若侧面SBC⊥底面ABC，求OS与平面ASB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通过证明BC⊥平面SOA，即可证明：SA⊥BC；
（2）若侧面SBC⊥底面ABC，可得SA，求出点O到平面ASB的距离，即可求OS与平面ASB所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接AO，
∵SB=SC，SO⊥BC，
∴O为BC的中点，
∵△ABC是以角A为直角的等腰三角形，
∴AO⊥BC，
∵AO∩SO=O，
∴BC⊥平面SOA，
∵SA?平面SOA，
∴SA⊥BC；
（2）解：∵AB=2，SB=SC=$\sqrt{3}$，SO⊥BC，∴SO=1．
∵侧面SBC⊥底面ABC，
∴SO⊥底面ABC，
∴SO⊥OA，
∴SA=$\sqrt{3}$
设OS与平面ASB所成角为θ，点O到平面ASB的距离为h，则sinθ=$\frac{h}{SO}$．
∵V_O-ASB=V_S-OAB，
∴$\frac{1}{3}h•{S}_{△ASB}$=$\frac{1}{3}|OS|{S}_{△OAB}$，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2$=1，S_△SAB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinθ=$\frac{h}{SO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．