Question

设F₁、F₂分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M、N分别为其短轴的两个端点，且四边形MF₁NF₂的周长为4，设过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AB|＝.

(1)求|AF₂|·|BF₂|的最大值；

(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积．

Answer 1

解：(1)因为四边形MF₁NF₂为菱形，又其周长为4，故a＝1

由椭圆定义知|AF₂|＋|AB|＋|BF₂|＝4a＝4，又因为|AB|＝，

所以|AF₂|＋|BF₂|＝，

所以|AF₂|·|BF₂|≤＝

当且仅当|AF₂|＝|BF₂|＝时，等号成立．

(此时AB⊥x轴，故可得A点坐标为，代入椭圆E的方程x²＋＝1得b＝<1，即当且仅当b＝时，|AF₂|＝|BF₂|＝)

所以|AF₂|·|BF₂|的最大值为.

(2)因为直线l的倾斜角为45°，所以可设l的方程为y＝x＋c，其中c＝

由(1)知椭圆E的方程为x²＋＝1

所以，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则A、B两点坐标满足方程组

化简得(1＋b²)x²＋2cx＋1－2b²＝0

则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝

因为直线l的斜率为1，所以|AB|＝|x₁－x₂|

即＝|x₁－x₂|，所以＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂

＝，得b²＝，b＝

所以c＝，l的方程为：y＝x＋

F₂到l的距离d＝1.

所以S_△ABC＝|AB|×1＝××1＝.