Question

12．已知点F为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且到原点的距离为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（-1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=4p\\ \sqrt{4+{m^2}}=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，求出p，即可求抛物线E的方程；
（Ⅱ）证明k_GA+k_GB=0，从而∠AGF=∠BGF，这表明点F到直线G A，G B的距离相等，即可证明结论．

解答 解：（I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=4p\\ \sqrt{4+{m^2}}=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，…（2分）
解得p=2，…（3分）
所以抛物线 E的方程为y²=4x．                          …（4分）
（II）因为点 A（2，m）在抛物线 E：y²=4x上，
所以$m=±2\sqrt{2}$，…（5分）
由抛物线的对称性，不妨设${A}（{2，2\sqrt{2}}）$．
由${A}（{2，2\sqrt{2}}）$，F（1，0）可得直线 AF的方程$y=2\sqrt{2}（{x-1}）$．…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=2\sqrt{2}（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得2x²-5x+2=0，
解得x=2或$x=\frac{1}{2}$，从而${B}（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$．                   …（7分）
又G（-1，0），
所以${k_{G{A}}}=\frac{{2\sqrt{2}-0}}{{2-（{-1}）}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，…（8分）${k_{G{B}}}=\frac{{-\sqrt{2}-0}}{{\frac{1}{2}-（{-1}）}}=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，…（9分）
所以k_GA+k_GB=0，从而∠AGF=∠BGF，…（10分）
这表明点F到直线G A，G B的距离相等，…（11分）
故以F为圆心且与直线G A相切的圆必与直线G B相切．       …（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．