Question

若对所有的实数x及1≤t≤

2

均有（x+t²+2）²+（x+at）²＞

1

8

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：令函数f（x）=（x+t²+2）²+（x+at）²，利用导数求其最小值，得到2(

t2

2

-

at

2

+1)2＞

1

8

，进一步得到
对1≤t≤

2

，有t2-at+2＜-

1

2

或t2-at+2＞

1

2

恒成立，然后分离参数后利用函数的单调性及基本不等式求得最值，最后得到答案．

解答： 解：令f（x）=（x+t²+2）²+（x+at）²，
则f′（x）=2（x+t²+2）+2（x+at）=4x+2t²+4+2at，
当x＜-

t2

2

-

at

2

-1时，f′（x）＜0，
当x＞-

t2

2

-

at

2

-1时，f′（x）＞0，
∴f(x)min=f(-

t2

2

-

at

2

-1)=2(

t2

2

-

at

2

+1)2．
问题转化为对1≤t≤

2

，有2(

t2

2

-

at

2

+1)2＞

1

8

．
即(t2-at+2)2＞

1

4

．
也就是对1≤t≤

2

，有t2-at+2＜-

1

2

或t2-at+2＞

1

2

恒成立．
由t2-at+2＜-

1

2

，得a＞t+

7

2t

（1≤t≤

2

），即a＞

9

2

；
由t2-at+2＞

1

2

，得a＜t+

3

2t

（1≤t≤

2

），即a＜

6

．
综上，实数a的范围是a＜

6

或a＞

9

2

．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是难题．