Question

若实数a，b满足a²+b²-4b+3=0，函数f（x）=asin2x+bcos2x+1的最大值为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为（　　）

• A、2
• B、

  2

  +1
• C、

  3

  +1
• D、3

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：先将a²+b²-4b+3=0配方，求出b的取值范围，再求出a²+b²的取值范围，运用两角和的正弦公式，并化简函数f（x）=asin2x+bcos2x+1，求出最大值，再根据a²+b²的范围，求出其最小值．

解答： 解：∵实数a，b满足a²+b²-4b+3=0，
∴a²+（b-2）²=1，∴（b-2）²≤1，解得1≤b≤3，
∴a²+b²=1-（b-2）²+b²=4b-3，
∴1≤4b-3≤9，
∵函数f（x）=asin2x+bcos2x+1
=

a2+b2

sin(2x+θ)+1（θ为辅助角），
∴φ（a，b）=

a2+b2

+1，
∵1≤a²+b²≤9，
∴1≤

a2+b2

≤3，
∴φ（a，b）的最小值为2．
故选：A．

点评：本题考查主要考查两角和的正弦函数公式，考查给定条件下函数的最值问题，注意自变量b的范围确定，本题也是一道易错题．