Question

8．证明：${（x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展开式中的中间一项是${（-2）^n}\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．

Answer 1

分析 根据二项展开式的通项公式，写出并化简展开式的中间一项即可．

解答 证明：${（x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展开式共有2n+1项，展开式的中间一项是：
T_n+1=${C}_{2n}^{n}$•xⁿ•${（-\frac{1}{x}）}^{n}$
=（-1）ⁿ•${C}_{2n}^{n}$
=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$
=（-1）ⁿ•$\frac{{2}^{n}•n!•1×3×5×…×（2n-1）}{n!•n!}$
=（-2）ⁿ•$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．

点评 本题考查了二项展开式的通项公式与应用问题，是基础题．