Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a²-2a+2，a_n+1=a_n+2（n-a）+1，n∈N⁺，当且仅当n=3时a_n最小，则实数a的取值范围为 （　　）

• A、（-1，3）
• B、(

  5

  2

  ，3)
• C、（2，4）
• D、(

  5

  2

  ，

  7

  2

  )

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：直接根据叠加法和数列的求和公式，求出数列的通项公式，进一步利用最小项与相邻项间的关系，通过解不等式组求出结果．

解答： 解：已知数列{a_n}满足：a_n+1=a_n+2（n-a）+1，n∈N⁺，
则：a_n=a_n-1+2[（n-1）-a]+1
整理得：a_n-a_n-1=2[（n-1）-a]+1①
所以：a_n-1-a_n-2=2[（n-2）-a]+1②
…
a₂-a₁=2[1-a]+1  （n-1）
所以：a_n=2[1+2+…+（n-1）-（n-1）a]+n-1+a₁
由a₁=a²-2a+2，
所以：an=n2-2an+a2+1
当且仅当n=3时a_n最小．

a4＞a3 a2＞a3

解不等式得：

5

2

＜a＜

7

2

故选：D

点评：本题考查的知识要点：叠加法再求数列通项公式中的应用，最小项与相邻项间的关系，解不等式组，属于中等题型．