Question

17．已知P为抛物线y²=4x上一个动点，直线l₁：x=-1，l₂：x+y+3=0，则P到直线l₁，l₂的距离之和的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过点P分别作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：过点P分别作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M，N．
抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），l₂：x+1=0是抛物线y²=4x的准线方程．
由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．
故小值为点F到其最到直线l₁的距离，∴|FM|=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档题．