Question

正项数列{a_n}满足：a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．并求使T_n＞

5

11

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系，即可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求出b_n=

1

(n+1)an

的通项公式，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
又∵各项为正，∴a_n=2n．
（2）∵b_n=

1

(n+1)an

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

），
若T_n＞

5

11

，即

1

2

（1-

1

n+1

）＞

5

11

，
解得n＞10，即使T_n＞

5

11

成立的最小正整数n=11．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．