Question

已知2x+y=2，且x，y都为正实数，则xy+

1

xy

的最小值为（　　）

• A、2
• B、

  3 2

  2

• C、

  9

  8

• D、

  5

  2

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：首先求出根据基本不等式求出

xy

≤

2

2

，令

xy

=t，（0＜t≤

2

2

）则xy+

1

xy

=t²+

1

t2

，令f（t）=t²+

1

t2

，利用导数求出单调性，再求出最小值即可．

解答： 解：∵2x+y=2，
∴2x+y≥2

2xy

∴

xy

≤

2

2

令

xy

=t，（0＜t≤

2

2

）
则xy+

1

xy

=t²+

1

t2

令f（t）=t²+

1

t2

∴f′（t）=

2(t2+1)(t2-1)

t3

当0＜t≤

2

2

时，f′（t）＜0，
∵f（t）在（0，

2

2

]为减函数，
当t=

2

2

时，f（t）有最小值，最小值为f（

2

2

）=2+

1

2

=

5

2

即xy+

1

xy

的最小值为

5

2

故选：D

点评：本题主要考查了基本不等式的应用和利用导数求函数的最值，本题的关键是xy+

1

xy

=t²+

1

t2

，考查了转化思想．