Question

7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=3，a+2b=6$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由a^x=b^y=3，求出x，y，进而可表示$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$，再利用基本不等式，即可求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值．

解答 解：∵a＞1，b＞1，a^x=b^y=3，∴x=log_a3，y=log_b3，
∴$\frac{1}{x}$=log₃a，$\frac{1}{y}$=log₃b，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₃a+log₃b=log₃ab，
∵a+2b=6$\sqrt{2}$≥2$\sqrt{2ab}$，
∴ab≤9（当且仅当a=2b时，取等号），
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≤log₃9=2，
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值为2；
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$是关键．