Question

在等腰三角形ABC中，已知AC=BC=

5

，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且AD=DB=EF=1．若

DE

•

DF

≤

25

16

，则

EF

•

BA

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，A（1，0），B（-1，0），C（0，2）．设

BE

=λ

BC

，可得

DE

=

DB

+λ

BC

=（λ-1，2λ）．
同理可得

DF

=（1-μ，2μ）．由|

EF

|=1，可得

(λ+μ-2)2+4(λ-μ)2

=1，化为5（λ²+μ²）-6λμ-4（λ+μ）+3=0．由于

DE

•

DF

≤

25

16

，可得(λ-1)(1-μ)+4λμ≤

25

16

．可得15（λ+μ）²+4（λ+μ）-32≤0，解出λ+μ的范围，由于1≥λ，μ≥

1

2

，可得1≤λ+μ≤

4

3

．即可得出

EF

•

BA

=2（2-λ-μ）的取值范围．

解答： 解：如图所示，
A（1，0），B（-1，0），C（0，2）．
设

BE

=λ

BC

，则

DE

=

DB

+λ

BC

=（-1，0）+λ（1，2）
=（λ-1，2λ）．
同理可得

DF

=（1-μ，2μ）．
∵|

EF

|=1，∴

(λ+μ-2)2+4(λ-μ)2

=1，
化为5（λ²+μ²）-6λμ-4（λ+μ）+3=0．
∵

DE

•

DF

≤

25

16

，
∴(λ-1)(1-μ)+4λμ≤

25

16

．
化为3λμ+λ+μ≤

41

16

．
∴15（λ+μ）²+4（λ+μ）-32≤0，
解得-

8

5

≤λ+μ≤

4

3

．
∵1≥λ，μ≥

1

2

，
解得1≤λ+μ≤

4

3

．
则

EF

•

BA

=2（2-λ-μ）的取值范围是 [

4

3

，2]．
故答案为：[

4

3

，2]．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、不等式的解法与性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．