Question

已知a是给定的正实数，若满足丨x-a丨＜b的一切实数x，使不等式丨x²-a²丨＜

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都成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：压轴题,函数思想,转化思想

分析：利用两个绝对值不等式的解集，在限制条件a-b＜x＜a+b，不等式|x²-a²|＜

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的恒成立，找出端点值之间的大小关系，得出关于a，b的不等式，最后利用a＞0这个限制条件得出关于b的不等式

解答： 解：∵|x-a|＜b，∴-b＜x-a＜b 即a-b＜x＜a+b；
由不等式|x²-a²|＜

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，解得a²-

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＜x²＜a²+

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，
∵丨x-a丨＜b的一切实数x，使不等式丨x²-a²丨＜

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都成立，
∴a-b＜x＜a+b的一切实数x，使不等式  a²-

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＜x²＜a²+

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恒成立，
∵b＞0 a＞0，∴（a-b）²＜（a+b）²，即得到不等式组

(a-b)2≥a2- 1 2 (a+b)2≤a2+ 1 2

，
化简得：

b2+2ba- 1 2 ≤0 b2-2ab+ 1 2 ≥0

  即 

b- 1 2b +2a≤0 b+ 1 2b -2a≥0

，
∵b＞0  a＞0，∴

b- 1 2b ＜0 b+ 1 2b ＞0

 即 0＜b＜

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．
故b的取值范围为（0，

2

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）．

点评：本题考察了多个参变量限制下的不等式恒成立问题，难度较大，能够从不等式的关系中找出关于b的限制条件是关键，需要很好的变换能力，和思维能力