Question

在等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=6．．
（1）求a_n；
（2）设bn=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n=n+1．
（2）由bn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围．

解答： 解：（1）∵在等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=6，
∴依题意可知

a1+d=3 a1+4d=6

，
解得a₁=2，d=1…．（4分）
故a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（2）∵bn=

1

an•an+1

，
∴bn=

1

(n+1)(n+2)

…．（7分）
=

1

n+1

-

1

n+2

…..（9分）
∴Sn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

…（10分）
显然n增大，趋向无穷大，

1

n+2

变小，并且趋向0
故当n=1时取最小值

1

6

，
∴

1

6

≤Sn＜

1

2

…..（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．