Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁、k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围；
（3）设直线AB上一点M，满足

BM

=λ

MA

，证明线段PM的中点在y轴上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）数形结合，依据抛物线C的标准方程写焦点坐标和准线方程．
（2）∠PAB为钝角时，必有

AP

•

AB

＜0．用k₁表示y₁，通过k₁的范围来求y₁的范围．
（3）先依据条件求出点M的横坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，证明x_M+x₀=0．由此能证明证明线段PM的中点在y轴上．

解答： （1）解：由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，
焦点坐标为(0，

1

4a

)，…（2分）
准线方程为y=-

1

4a

．…（4分）
（2）因为点P（1，-1）在抛物线y=ax²上，
所以a=-1，抛物线方程为y=-x²．…（5分）
∵设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₂（x-x₀）．
点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)             ① y=ax2                              ②

的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x₁+x₀=

k1

a

，故x₁=

k1

a

-x₀ ③．
又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0)        ④   y=ax2                         ⑤

 的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x₂+x₀=

k2

a

，故x₂=

k2

a

-x₀．
由已知得，k₂=-λk₁，则x₂=-

λ

a

k₁-x₀． ⑥，…（7分）
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x²得y1=-(k1+1)2．
将λ=1代入⑥式得x₂=k₁-1，代入y=-x²得y2=-(k2+1)2．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1-1，-k12-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．
于是

AP

=(k1+2，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)

AP

•

AB

=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
求得k₁的取值范围是k₁＜-2或-

1

2

＜k1＜0．…（8分）
又点A的纵坐标y₁满足y1=-(k1+1)2，
故当k₁＜-2时，y₁＜-1；当-

1

2

＜k1＜0时，-1＜y1＜-

1

4

．
即y1∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)…（10分）
（3）证明：设直线PA、PB的方程分别为y-y₀=k₁（x-x₀）、y-y₀=k₁（x-x₀）．…（11分）
点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)…(1) y=ax2…(2)

的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，
故x1=

k1

a

-x0③…（13分）
又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0)…(4) y=ax2…(5)

的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．
于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．    …（14分）
由已知得，k₂=-λk₁，则x2=-

λ

a

k1-x0．　　⑥
设点M的坐标为（x_M，y_M），由

BM

=λ

MA

，则xM=

x2+λx1

1+λ

．…（15分）
将③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴线段PM的中点在y轴上．…（16分）

点评：本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．