Question

4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC的中点，E为AD的中点，PA=AC=2，BC=1．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值；
（3）设点F在线段PB上，且$\frac{PF}{PB}$=λ，EF∥平面ABC，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，进而BC⊥AD，再求出AD⊥PC，由此能证明AD⊥平面PBC．
（2）推导出PA⊥平面ABC，以C为原点，分别以CA、CB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求出PE与平面ABD所成角的正弦值．
（3）求出$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE}$=（-2λ+$\frac{1}{2}$，λ，-2$λ+\frac{3}{2}$），由EF∥平面ABC，平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），利用向量法能求出λ的值．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∵AD?平面PAC，∴BC⊥AD，
∵在△PAC中，PA=AC，D为PC的中点，∴AD⊥PC，
∵BC∩PC=C，∴AD⊥平面PBC．
解：（2）依题意，PA⊥平面ABC，
如图，以C为原点，分别以CA、CB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
依题意得A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（1，0，1），E（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），P（2，0，2），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{1}{2}，0，-\frac{3}{2}$），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
设PE与平面ABD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{1}{2}×1+0×1-\frac{3}{2}×1|}{\frac{\sqrt{10}}{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．
（3）∵$\overrightarrow{PB}$=（-2，1，-2），$\overrightarrow{PF}$=$λ\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{PF}$=（-2λ，λ，-2λ），∵$\overrightarrow{PE}=（-\frac{1}{2}，0，-\frac{3}{2}）$，∴$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE}$=（-2λ+$\frac{1}{2}$，λ，-2$λ+\frac{3}{2}$），
∵EF∥平面ABC，平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AP}$=-4λ+3=0，解得$λ=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．